Qu'est-ce que application bilinéaire ?

Une application bilinéaire est une fonction mathématique qui prend deux vecteurs en entrée et produit un scalaire en sortie. Elle est définie comme étant linéaire par rapport à chacune de ses variables. Plus précisément, une application bilinéaire f : E × F → K est dite bilinéaire si, pour tout vecteur u de E, tout vecteur v de F et tout scalaire λ dans K, elle vérifie les propriétés suivantes :

1. f(u + v, w) = f(u, w) + f(v, w) pour tout w dans F.
2. f(u, v + w) = f(u, v) + f(u, w) pour tout v et w dans F.
3. f(λu, v) = λ.f(u, v) et f(u, λv) = λ.f(u, v) pour tout scalaire λ dans K.

Les applications bilinéaires sont utilisées dans différents domaines mathématiques tels que l'algèbre linéaire, la géométrie, l'analyse fonctionnelle, l'analyse numérique, etc. Elles ont des propriétés intéressantes comme la symétrie ou la continuité, qui sont souvent exploitées pour résoudre des problèmes mathématiques complexes.